Ejemplo 12 - Cercado de un recinto

ℹ️

Objetivo

Un ganadero quiere diseñar el cercado rectangular de área máxima

Datos
Dispone de 100m de valla para colocar (se quiere utilizar toda)
La valla se colocará junto a un muro de 100m el cual se quiere aprovechar para ahorrar un lado de la valla usando el muro

📝

Operaciones

Variables de decisión
$b$ → Base del rectangulo
$h$ → Altura del rectangula

Área del rectángulo
$A(b,h) = b·h$

Como tenemos 100m de valla para construir el cercado, podríamos expresar que dicha cantidad equivale a la suma del perímetro del cercado

2b + 2h = 100

pero hay que recordar como vamos ha pegar la valla a la pared, hay un lado que no tenemos que usar valla, por lo que la ecuación nos quedará

b + 2h=100

Ahora, vamos a expresar la función del area respecto de una sola variable, por lo que vamos a despejar la base de la ecuación anterior, y la vamos a sustituir en la función

b= 100 - 2h

A(h) = -2h^2 -100h

Ahora toca maximizar el area que podemos conseguir con el cercado, por lo que deberemos maximiar

A

. Esto lo podemos hacer usando dos métodos

Gráficamente → Graficamos la función para encontrar el punto máximo

Analíticamente → Haremos la derivada de la función, igualaremos esta a cero y analizamos los límites de los puntos obtenidos

h^* = 25

💡

El valor de

h

cuya pendiente en

0

se expresa como

h^*

📝

Solución

El valor máximo que toma la función del area para este ejercicio es

1250m^2

para el valor de

h = 25m

por lo que el valor de

b = 100-2h = 50m