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Enunciado

Consideramos la fabricacion de aros para piston de motor. Una característica en la calidad de un aro es su diámetro interno. Debido a las variaciones en su proceso de produccion, podemos modelizar este diametro como una variable aleatoria, sien

X

la variable aleatoria representando el diámetro interno (en mm)

El diámetro es de $74mm$

La desviación típica es $0.01mm$

Se han tomado 16 muestras de tamaño 5 cada una

Se pide calcular el UCL, CL y LCL

Datos
$X \sim N(\mu = 74, \sigma = 0.01)$
$i = 16$
$n = 5$

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Operaciones

Sabiendo que el valor de

\mu_{\overline X}

es

74

y que el valor de

\sigma_{\overline X} = \frac{\sigma}{\sqrt n}

donde

\sigma = 0.01

y el tamaño de la muestra es

UCL = 74 + 3\ · \frac{0.01}{\sqrt 5} = 74.0135\\ CL = 74\\ LCL = 74 - 3\ · \frac{0.01}{\sqrt 5} = 73.9865

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Resultados

UCL = 74.0135\\ CL = 74\\ LCL = 73.9865

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Enunciado

Respecto del ejemplo 42

¿Podemos decir que el proceso de fabricacion de aros de pistón está bajo control?

Suponiendo que el proceso de fabricacion de aros esté bajo control ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral caiga fuera de los límites de control?

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Operaciones

Respecto de la pregunta de si el proceso está bajo control, la respuesta es sí, ya que ninguna media se sale de los límites (gráfica ejemplo 42)

Para la segunda cuestión nos piden calcular el intervalo de confianza para la probabilidad de que el proceso caiga fuera de control

P(LCL \leq \overline X \leq UCL) \rightarrow P(-3 \leq Z \leq 3)

Para pasar de

\overline X

a

Z

hay que normalizar la variable aleatoria

Norm(x) = \frac{x - \mu}{\sigma}

P\bigg(\frac{73.9865 - 74}{\frac{0.01}{\sqrt 5}} \leq Z \leq \frac{74.0135 - 74}{\frac{0.01}{\sqrt 5}}\bigg) = P(-3 \leq Z \leq 3)

Para hallar la probabilibadad de el intervalo deberemos calcular la diferencia entre las probabilidades:

P(Z \leq 3) - P(Z \leq -3)

Para hallar los valores de estas probabilidades miraremos la tabla

P(-3 \leq Z \leq 3) =0.9987 − [1 − 0.9987] \\ = 0.9974

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Resultados

Sí, está bajo control

La probabilidad de que la media muestral caiga fuera de control es de $1 - 0.9974 = 0.0026$

Ejemplos 42 y 43 - Gráfico de control (X)

Ejemplo 42

Ejemplo 43 (continuación del 42)