Ejemplo 2 - Modelo de Mezclas

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Enunciado
Una compañía quiere decidir la composición de mínimo coste de un pienso para gallinas. Formula este problema de optimizacion como un PL (no hay que resolverlo).
 
Datos
  • Se quiere calcular la composición de 1kg de pienso
  • Cada kg de pienso puede contener como máximo 10mg se sodio
  • Al menos 50g de fibra
  • Al menos 400g de maíz
  • La composición del pienso puede contener: Maíz, Trigo y Avena
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Operaciones
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Variable de decisión
xj:=kg del ingrediente j por cada kg de piensoj∈{M,T,A}x_j := \text{kg del ingrediente } j \text{ por cada kg de pienso}\\ j \in \{M, T, A\}
Siendo MM, TT y AA las iniciales de Maíz, Trigo y Avena respectivamente
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Función de coste
z(x)=0.15xM+0.12xT+0.2xA  (€/kg de pienso)z(x) = 0.15x_M + 0.12x_T + 0.2x_A \ \text{ (€/kg de pienso)}
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Restricciones
La mezcla debe ser de 1kg
xM+xT+xA=1kgx_M + x_T + x_A = 1kg
Cada kg de pienso debe contener como máximo 10mg de sodio
10xM+15xT+5xA≤10mg10x_M + 15x_T + 5x_A \leq 10mg
La mezcla debe contener al menos 50g de fibra
40xM+90xT+30xA≥50g40x_M + 90x_T + 30x_A \geq 50g
La mezcla debe contener al menos 400g de maíz
xM≥400gx_M \geq 400g
Los la cantidad de ingredientes no puede ser negativa
xj≥0, j∈{M,T,A}x_j \geq 0,\ j\in \{M, T, A\}
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Solución
Simplificación de la función objetivo y las restricciones
minz(x)=0.15xM+0.12xT+0.2xA(coste)s.a.xM+xT+xA=1kg(composicioˊn 1kg)10xM+15xT+5xA≤10mg(sodio max 10mg)40xM+90xT+30xA≥50g(fibra min 50g)xM≥400g(maiz min 400g)xj≥0, j∈{M,T,A}(valores positivos)\begin{matrix} min && z(x) = 0.15x_M + 0.12x_T + 0.2x_A && \small\text{(coste)}\\ s.a. && x_M + x_T + x_A = 1kg && \small\text{(composición 1kg)} \\ && 10x_M + 15x_T + 5x_A \leq 10mg && \small\text{(sodio max 10mg)}\\ && 40x_M + 90x_T + 30x_A \geq 50g && \small\text{(fibra min 50g)}\\ && x_M \geq 400g && \small\text{(maiz min 400g)}\\ && x_j \geq 0,\ j\in \{M, T, A\} && \small\text{(valores positivos)} \end{matrix}
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