Ejemplo 31 - Puntos eficientes

Punto $x = (3,0)$

Evaluamos el punto en las dos funciones objetivo

$$(z_1(3,0), z_2(3,0)) \rightarrow (9,-3)$$

Ahora, buscaremos un punto que mejore el resultado

$$(z_1(2,0), z_2(2,0)) \rightarrow (6,-2)\\ (z_1(3,1), z_2(3,1)) \rightarrow (10,-1)$$

El punto $(2,0)$ da un peor resultado que $(3,0)$ en ambas funciones, por lo que este punto no nos proporciona más información.

Sin embargo, el punto $(3,1)$ da un mejor resultado en ambas funciones respecto de $(3,0)$ (aunque es suficiente con que mejore solo una)

 

Dado que el punto $(3,1)$ mejora el resultado de $(3,0)$, entonces podemos afirmar que el punto $(3,0)$ es ineficiente

Punto $x = (2,2)$

Para saber si nuestro punto es eficiente, sin tener que probar los infinitos puntos de al rededor, usaremos el método que consiste en dibujar el cono formado por las diferentes curvas de nivel.

Para este método necesitaremos recuperar el valor del punto en cada una de las funciones objetivo

$$(z_1(2,2), z_2(2,2)) \rightarrow (8,2)$$

Igualamos cada función objetivo con su respectivo resultado despejamos

• $3x+y=8 \rightarrow f(x)=-3x+8$

• $-x+2y = 0 \rightarrow f(x) = \cfrac{x+2}{2}$

 

Siendo la región factible, la zona de azul más oscura en la siguiente imágen

Pintaremos las curvas de nivel de ambas funciones y pintaremos el cono $K$ coloreando:

• Si la función es de maximización, coloreamos el lado donde no esté el $(0,0)$

• Si la función es de minimización, coloreamos el lado donde esté el $(0,0)$

Como podemos ver, la zona naranja, queda fuera de la región factible a excepción del punto $(2,2)$, por lo que dicho punto es eficiente