Cómo dibujar el cono K

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¿Qué es el cono KK?
El cono KK es una región que se crea cuando graficamos las curvas de nivel de las funciones objetivo (en un problema de optimización multiobjetivo) haciendo que dichas curvas pasen todas por un mismo punto, PP el cual queremos comprobar si es un punto eficiente del problema.
 
Dibujar la región eficiente
El cono comienza en un punto PP donde se cruzan todas las curvas de nivel de las funciones objetivo. Dependiendo si cada función es de maximización o minimización, deberemos decidir que lado de la recta formará parte del cono (podemos tomar un valor a un lado y evaluarlo, dependiendo de si el resultado es mejor o peor, elegimos un lado u otro).
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Enunciado de ejemplo
notion image
Comprobaremos el punto P=(2,2)P = (2,2)
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Pasos para dibujar el cono KK
1️⃣
Sacamos las curvas de nivel de todas las funciones objetivo pasando por el punto PP
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Cómo dibujar las curvas de nivel
Ejemplo
Evaluamos PP en cada función objetivo
  • z1(P)=8z_1(P) = 8
  • z2(P)=2z_2(P)=2
Hallamos la curvas de nivel que pasan por PP
  • 3x+y=8f(x)=3x+83x+y=8 \rightarrow f(x)=-3x+8
  • x+2y=2f(x)=x+22-x+2y = 2\rightarrow f(x) = \cfrac{x+2}{2}
2️⃣
Graficamos las funciones anteriores. (todas se tienen que cruzar en el punto PP)
Ejemplo
notion image
3️⃣
Dibujamos el cono KK
  • Si la función es de maximización, coloreamos el lado donde no esté el (0,0)(0,0)
  • Si la función es de minimización, coloreamos el lado donde esté el (0,0)(0,0)
Ejemplo
Para graficarlo, hemos tomado las funciones de cada recta y las hemos planteado como inecuaciones añadiendole delante un yy mayor que
  • y>3x+8y>-3 x+8
  • y>x+22y>\cfrac{x+2}{2}
💡 Si estuvieramos minimizando, usaríamos el yy menor que
notion image