Ejemplo 17 - Definitud de una matriz

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Enunciado
Analizar si la matriz AA es definida positiva
A=(2003)A = \begin{pmatrix} 2 && 0 \\ 0 && 3 \end{pmatrix}
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Operaciones
💡 Una matriz será definida positiva si cumple la siguiente expresión
xAx>0x^\top Ax > 0
Lo que significa que si multiplicamos la traspuesta de xx (vector horizontal), por la matriz AA, por xx (vector vertical) nos dará como resultado una expresión la cual da igual los valores que le demos a sus variables, el resultado siempre va a ser positivo
xAx=(x1  x2)(2003)(x1x2)=2x12+3x22>0x^\top Ax = (x_1\ \ x_2) \begin{pmatrix} 2 && 0\\ 0 && 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix} = 2x^2_1 + 3x^2_2 >0
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Resultados
La matriz AA es definida positiva
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En la expresión 2x12+3x22>02x^2_1 + 3x^2_2 >0, podemos ver que al estar sus variables con un exponente par, el resultado siempre será positivo
💡
El vector (0,0)(0,0) (vector nulo) no se tiene en cuenta para determinar si la expresión dará siempre positivo