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ℹ️

Enunciado

Verificar si el punto

\overline x = (0, 5)

corresponde a un máximo local, mínimo local o a un punto de silla de

f(x)

f(x) = 40 + x^3_1\ (x_1 − 4) + 3\ (x_2 − 5)^2

⁍

✏️

Operaciones

Sustituimos el punto estacionario en la matriz hessiana

H(\overline x) = (0,5) = \begin{pmatrix} 0 && 0 \\ 0 && 6 \end{pmatrix}

Calculamos $x^\top H x$

x^\top Ax = (x_1\ \ x_2) \begin{pmatrix} 0 && 0\\ 0 && 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix} = 0x_1^2+6x^2_2 \geq 0

💡

En este caso podemos ver que la expresión

0x^2_1 + 6x^2_2

se evalúa como mayor o igual que cero ya que una de sus coordenadas ha sido anulada. Por ejemplo, el vector

\overline x =(5,0)

es un vector no nulo que se evalua como cero.

🧠

Resultados

Para el vector

\overline x

, la matriz hessiana es semidefinida positiva

💡

Para poder asegurar que un punto es un mínimo local o un máximo local, la matriz hessiana debe ser definida en ese punto, o tambíen dicho, debe cumplirse la Condición Suficiente de Optimalidad de segundo Orden (CSO2).

En caso de ser semidefinida, deberemos recurrir a otros métodos para determinar si el caracter del punto estacionario que estamos estudiando

Con los valores anteriores solo podemos afirmar que

El vector $\overline x$ no puede ser un máximo local ya que la matriz hessiana es semidefinida positiva

El vector solo podría ser o un mínimo local o un punto de silla

El vector sería un punto de silla de no ser un mínimo local

Ejemplo 22 - Máximos, Mínimos y Puntos de silla