Tema 7 - Diseño de experimentos en ingeniería

Diseño de experimentos y Control de la calidad

📖

En un proceso, hay varios factores que pueden afectar a la calidad del producto final y muchos de estos factores se pueden controlar (temperatura, presión, velocidad, etc.)

ℹ️

Denominamos variables de control a estos factores que podemos controlar en un proceso

ℹ️

Todo proceso de experimentación en ingeniería se compone de cuatro etapas

Conjeturar una hipótesis sobre el proceso de producción

Experimentar para obtener la información sobre la conjetura

Analizar estadísticamente la información del experimento para ver si es significativa

Sacar conclusiones sobre si la conjetura inicial es cierta o hay que adaptarla a los resultados obtenidos y quizás realizar un nuevo experimentos

Introducción a los experimentos factoriales

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Experimentos factoriales $C = 2^2$

Los experimentos factoriales

2^2

son experimentos de 2 factores con 2 niveles por lo que cada muestra realizará 4 experimentos, representando cada posible combinación de factores y niveles. Estos niveles se etiquetan como alto (+) y bajo (-)

Todo experimento factorial define una variable de respuesta

🎯

El objetivo es analizar

Si la variable respuesta es afectada por los factores

Si existe interacción (dependencia) entre los factores

Tras realizar el experimentos, las diferentes combinaciones entre factores y niveles se suelen representar en una tabla donde cada una de estas combinaciones se representa con la siguiente simbología:

(1) → Ambos factores están en el nivel bajo

a → El factor A está en el nivel alto y el factor B está en el nivel bajo

b → El factor A está en el nivel bajo y el factor B está en el nivel alto

ab → Ambos factores están en el nivel alto

El experimento se suele repetir

n

veces (se toman $n$ muestras) donde cada muestra toma datos de las 4 combinaciones

Estimar el efecto promedio de un factor

Para estimar el efecto de un factor, deberemos hacer la media de medias de aquellas combinaciones donde el factor de estudio está a nivel alto $(\overline y_{A_+})$ , y luego otra media de medias de aquellas combinaciones donde el factor de estudio está a nivel bajo $(\overline y_{A_-})$

Finalmente, si hacemos la diferencia entre estos dos resultados nos da el incremento de la media cuando pasamos de un nivel bajo a un nivel alto del factor seleccionado

A = \overline y_{A_+} - \overline y_{A_-}

Aunque también podríamos usar las fórmulas.

⚠️

Estas fórmulas se puden usar con las medias o las sumas totales de cada caso ((1) , a , b , ab).

💡 Podemos saber si hay que usar las medias o la sumas totales en la fórmula si miramos la fracción de delante
Usar la media → $\frac{1}{2}$
Usar la suma total → $\frac{1}{2n}$

A = \frac{1}{2n}[a+ab - b -(1)]\\ B = \frac{1}{2n}[b+ab - a -(1)]\\

Estimar la interacción promedio entre dos factores

En este caso la fórmula sería la media de los casos donde todos los factores están al mismo nivel, menos la media de los casos donde cada uno es´ta a un nivel distinto

O podemos hacer uso de alguna de estas fórmulas

Usando la suma total (opción 1)

AB = \frac{1}{2n}[ab + (1) - a - b]

Siendo
$n$ → El número total de combinaciones: 4
Los valores (1) , a , b , ab hacen referencia a la columna suma total

Usando la media (opción 2)

AB = \frac{1}{2}[\overline {ab} + \overline{(1)} - \overline a - \overline b]

Cualquiera de estas fórmulas nos dará como resultado la interacción promedio

💡

La formula de la interacción tiene una característica de conmutabilidad

AB = BA

📝

Ejemplos 50 y 51 - Introducción a los experimentos factoriales 2^2

🧪

Experimentos factoriales $C = r^k$

Los experimentos

2^k

son como los de

2^2

, es más, esos son un caso particular de los de

2^k

. Si además tenemos más de dos factores, entonces tendremos un experimento de

C = r^k

Experimentos factoriales y regresión

🧪

Modelo de regresión (no lineal)

Un modelo de regresión es básicamente una función formada por la suma de productos entre un factor

\beta

y una variable

x

, más un error

\epsilon

Cualquier experimento factorial

2^2

puede resolverse con un modelo de regresión tal que

Y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_1x_2 + \epsilon

Siendo
$x_i$ → El efecto promedio de un factor dividido por $2$
$\beta_0$ → La media de medias
$\beta_i$ → La interpretación de un factor $\{-1, 1\}$
$\epsilon$ → Una variable para tener en cuenta el error

Los valores de

\beta

representar una interpretación concreta de la tabla (da valores a cada $\beta_{i>0}$ ). Estos valores representan en nivel del factor correspondiente donde el valor

1

representa un nivel alto y el valor

-1

representa un nivel bajo

📝

Ejemplo 52 - Modelo de regresión

Inferencia sobre el modelo de regresión

🎓

Distribución $t$ de Student

La distribución

X \sim T_k

se lee como: La variable $X$ tiene una distribución $t$ de Stundent con $k$ grados de libertad

En la imagen anterior tenemos representada una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria

t

de Student con

k

grados de libertad

💡

Esta distribución es parecida a la normal, pero considera más probables la aparición de valores atípicos. Esta es normalmente más usada con muestras pequeñas

Media y varianza

\mu = E(X)\\ \sigma^2 = V(X) = \frac{k}{k-2}

Aunque existe una función de densidad de probabilidad, existe una tabla para evitar tener que estar haciendo cálculos y saberse las fórmulas

💡

Relevancia de los coeficientes

\beta

Dado un modelo de regresión no lineal

Y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_1x_2 + \epsilon

Podemos simplificar el modelo si no todos los coeficientes

\beta

son relevantes (distintos de cero)

Se plantean dos hipótesis para cada factor

H_0: \beta_i = 0 \text{ El factor } i \text{ es irrelevante}\\ H_1: \beta_i \neq 0 \text{ El factor } i \text{ es relevante \ \ }

0️⃣

Seguiremos los siguientes pasos para cada factor, siendo

\beta_i

cada uno de los factores

\beta

del modelo e

i\in\{0,1,2,3\}

Para resolver este contraste de hipótesis seguiremos los siguientes pasos

1️⃣ Calculamos $\^\sigma^2$ (estimación de la varianza)
$\^\sigma^2 = \frac{1}{C}\sum^C_{c=1}\^\sigma^2_c$
Siendo
$C$ → Número total de combinaciones entre los factores y los niveles

2️⃣ Calculamos el error estandar (desviación típica)
$se(\beta_i) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\^\sigma^2}{n}}$
Siendo
$n$ → Número de repeticiones del experimento

3️⃣ Caculamos el estadístico $t_0$
$t_0 = \frac{\^\beta_i}{se(\beta_i)}$

4️⃣ Calculamos el P-Valor
$\text{P-Valor} = 2\ · P(T_0 > |t_0|)$
Siendo
$T_0$ una variable aleatoria $t$ de Student con $C\times(n-1)$
💡 El P-Valor es la probabilidad de equivocarnos si aceptamos la hipótesis $H_1$

5️⃣ Comprobación de hipótesis
Si el P-Valor es menor o igual que el nivel de significación $(a)$ entonces es relevante (aceptamos la hipótesis $H_1$ )
Si el P-Valor es mayor que el nivel de significación $(a)$ entonces es no relevante (rechazamos la hipótesis $H_1$ )

💡

El nivel de significación

(a)

es el máximo valor que estamos dispuestos a aceptar respecto de la probabilidad de equivocarnos al aceptar la hipótesis

H_1

📝

Ejemplo 54 - Distribución

t

de Student respecto de el ejemplo 52

Contraste de hipótesis tras una prueba ANOVA

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La prueba ANOVA es una técnica estadística para analizar las medias de varios grupos.

El contraste de hipótesis de estas pruebas consistirá en comprobar si un factor es significativos a través del análisis del P-Valor de un factor comprobando si es menor o igual que el nivel de significancia

(\alpha)

para solicitado.

Si el P-Valor es menor o igual que $\alpha$ (se asume que este es $0.05$ )

Rechazamos la hipótesis nula y concluimos que el factor es significativo

Si el P-Valor es mayor que $\alpha$

No rechazamos la hipótesis nula y concluimos que el factor es marginalmente significativo

💡

A no ser que se indique lo contrario, se suele usar los siguientes valores a la hora de concluir si un factor es significativo:

$\text{P-Valor} \leq 0.05$ → Valor límite para considerar un factor como significativo

$\text{P-Valor} > 0.1$ → Valor límite para considerar un valor como marginalmente significativo

Ejemplo

Observando los siguientes resultados
Debemos mirar la columna Pr(>F) donde están los P-Valor de cada combinación de factor y nivel
Estos valores debemos compararlos con los niveles de significación que aparecen
Lenguaje tendría un nivel de significación de '*'
Velocidad tendría un nivel de significación de '.'
Lenguaje:Velocidad tendría un nivel de significación de ' '