Notion Lovers

ℹ️

Enunciado

Juan, estudiante de ingeniería, quiere maximizar sus resultados academicos. Numero total de horas disponibles para estudiar: 30 h. La estimacion del incremento de la nota de cada materia aportado por cada hora de estudio viene dado en la siguiente tabla:

Asignatura	Incremento en la nota
Investigación Operativa (IO)	$2\%$
Ingeniería Económica (IE)	$3\%$
Estadística (ES)	$1\%$
Programación (PR)	$5\%$

Juan quiere:
Que el numero de horas de estudio dedicadas a IO sea igual o superior al resto.
Un maximo de 10 h de estudio por materia.

Objetivo: Formula este problema de optimizacion como un problema de Programación Lineal (PL) (no hay que resolverlo).

✏️

Operaciones

1️⃣

Definir la variable de decisión

Este paso consiste en identificar cual es el recurso del que disponemos y deseamos destribuir entre diferentes actividades

x_j := \text{Horas dedicadas a cada materia}\\ j \in \{IO, IE, ES, PR\}

2️⃣

Definimos la fórmula del problema de PL

Dado que el objetivo es alcanzar el máximo incremento (en %) en la nota a través de la asignación de las horas de estudio disponibles, el problema es de maximización

🧠 Aquí estamos definiendo $z$ como nuestra función de maximización (porcentaje de incremento en la nota) en función de una variable $x$ la cual toma un valor diferente según el subíndice (cada una de las asignaturas). Cada uno de los componentes de la fórmula está precedido por un número que establece el peso que supone la asinación de recursos a este componente concreto (rendimiento de las horas de estudia de esa asignatura)
$z(x) = 2x_{IO} + 3x_{IE} + 1x_{ES} + 5x_{PR}$

3️⃣

Definimos las restricciónes

El enunciado nos dice que tenemos que seguir una serie de reglas o restricciones a la hora de asignar los recursos

Nos dicen que las horas disponibles son $30$ , entonces la suma de todas las horas dedicadas a cada asignatura deberá ser este número. No podemos tener más horas. No tendría sentido asignar menos horas de las disponibles
$x_{IO} + x_{IE} + x_{ES} + x_{PR} = 30$

Nos dicen que las horas dedicadas a IO deben ser iguales o superiores a las horas dedicadas al resto de asignaturas (no todas juntas sino que estas será a la que más horas dedique)
$x_{IO} \geq x_{IE}\\ x_{IO} \geq x_{ES}\\ x_{IO} \geq x_{PR}$

Aunque no se menciona, debemos asegurarnos de que no se pueden asignar horas negativas
$x_{IO} \geq 0\\ x_{IE} \geq 0\\ x_{ES} \geq 0\\ x_{PR} \geq 0$

🧠

Solución

Simplificamos las operaciónes anteriores en una solución más compacta

\begin{matrix} \text{max} && x = 2x_{IO}+ 3x_{IE} + 1x_{ES} + 5x_{PR} && \text{(incremento total)}\\ s.a. && x_{IO}+x_{IE}+x_{ES}+x_{PR} = 30 && \text{(incremento total)}\\ && x_{IO} \geq x_j,\ j \in \{IE, ES, PR\} && \text{(IO la que más)}\\ && x_j \leq 10,\ j \in \{IO, IE, ES, PR\} && \text{(maximo 10h)}\\ && x_j \geq 0,\ j \in \{IO, IE, ES, PR\} && \text{(minimo 0h)} \end{matrix}

Ejemplo 1 - Modelo de Asignación de Recursos