Ejemplo 23 - Método del gradiente

0️⃣ Seleccionamos los valores iniciales

• $k=0$

• $x^0 =(0,0)$

• $\epsilon = 0.1$

1️⃣ Calculamos el gradiente

$$\nabla f(x) = (2x_1-2,\ 2x_2 -6 )$$

$$\nabla f(x^0) = (-2, \ -6)$$

2️⃣ Comprobamos proximidad a un punto estacionario

$$||\nabla f(x^0)|| = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt {40}$$

Como $\sqrt{40}$ es mayor que el umbral exigido, $x^0$ no es un punto estacionario por lo que tampoco es un punto óptimo

3️⃣ Elegimos la dirección del gradiente (valor de $x$ para el siguiente índice de solución)

Como en el enunciado nos piden minimizar entonces utlizamos la derivada negada

$$d^0 = -\nabla f(x^0) = -(-2, -6) = (2, 6)$$

4️⃣ Expresión para calcular el siguiente punto

El siguiente punto depende de $\lambda$

$$\begin{align*} x^{1}(\lambda) &= x^0 + \lambda d^0 \\&= (0,0) + \lambda(2,6) \\&= (2\lambda, 6 \lambda) \end{align*}$$

Ahora sustituiremos el nuevo punto con el parámetro en la función inicial $f(x)$

$$f(x^1) = (2\lambda -1)^2 + (6\lambda -3)^2$$

5️⃣ Calcular el nuevo punto

Como en el paso anterior hemos obtenido una versión unidimensional de la función, podemos resolver calcular el punto donde $f=0$

$$(2\lambda -1)^2 + (6\lambda -3)^2 = 0\\ \lambda = 0.5$$

6️⃣ Incementar el índice de solución

Actualizamos el valor de $k$, $k=1$ y volvemos al paso 1️⃣