Decimal a IEEE-754

Pasos a Seguir

Método 1

Anotamos el bit de signo fijandonos en el número decimal

0 (positivo)

1 (negativo)

Pasamos el número a binario en valor absoluto, si hay decimales, pasarlos también a binario pero manteniendo la coma en su lugar

Normalizamos el número

Normalizar consiste en desplazar la coma hasta situarse a la derecha del bit más significato que contenga un uno

Los bits que quedan tras la coma se conocen como la mantissa

Anotamos los desplazamiento necesarios $(n)$ hasta llegar a dicho bit para hallar el valor del exponente

Hacia la izquierda → exponente positivo
Hacia la derecha → exponente negativo

Para hallar el exponente en exceso a 127, sumamos dicha cantidad al valor de nuestro exponente → $127 + n = \bold{exp}$

Pasamos a binario el exp para conocer el valor de los bits que debe contener el número en exceso a 127

Concatenamos los bits calculados anteriormente para formar el número en formato IEEE-754

Resultado IEEE-754 → bitSigno (1 bit ) $\cup$ exp (8 bits) $\cup$ mantissa (23 bits)

Método 2 (logaritmos)

💡

Este método se usa para transformar número grandes que nos dan en notación científica

Cambio de base del exponente

Hacemos el logaritmo base 2 del número que nos dan $(num)$ (sin signo, con el $\it\times10^n$ incluido), y descartamos los decimales del resultado (truncamos)

\small\bold n = trunc(\log_2({num}))

Dividimos el numero original entre 2 elevado al resultado (sin decimales) del paso 1

\small\bold{{resultado}} = \frac{num}{2^n}

Expresamos el resultado del paso anterior con exponente base 2 y le añadimos el signo del número original

(signo)\ \bold{\small{resultado}} \times 2 ^ n

Pasar $resultado \times 2^n$ a IEEE-754

Anotar el bit de signo según el signo del número → [0|1]

Calcular en exponente en exceso a 127 del exponente con base 2 → $127 - n = exp$

Pasar la parte decimal a binario para sacar la mantissa (se ignora la parte entera ya que se representa con un bit implícito)

Casos excepcionales

💡

Representar el 0 en IEEE-754

Para representar el cero en el formato IEEE-754, tenemos que tener todos los bits tanto de signo, exponente y mantissa desactivados. Cuando los bits del exponente están todos desactivado, la mantissa de desnormaliza (1.mantissa → 0.mantissa)

0 00000000 00000000000000000000000

💡

Representar el 1 en IEEE-754

Para representar el uno en el formato IEEE-754, tenemos que tener los bits tanto de signo como el de la mantissa desactivados. Los bits del exponente deben ser 127 para así hacer que el exponente sea cero tras restar el exceso a 127

0 01111111 00000000000000000000000

Ejemplo 1 (método normal) → $14.75_{10}$

💡

Procedimiento

El bit de signo es 0 dado que el número es positivo

Pasamos 14.75 a binario → 1110. 1100

Normalizamos el número que acabamos de obtener

Número normalizado (mantissa) → 1.110 1100
Desplazamientos de la coma (exponente) → $3$

Calculamos el exponente en exceso a 127 → $127 +3 = 130$

Convertimos el exponente ( $140$ ) a binario → 1000 0010

Concatenamos los bits resultantes → 0 (signo, 1 bit) $\cup$ 1000 0010 (exponente, 8 bits) $\cup$ 1100 0000 0000 0000 0000 000 (mantissa, 23 bits)

Resultado → 0 10000010 11000000000000000000000 (IEEE-754, 32 bits)

Ejemplo 2 (logaritmos) → $-2.5675 \times 10 ^{15}$

💡

Procedimiento

Cambio de base del exponente

Calculamos el exponente de la base→ $\log_2(2.5675\times10^{15}) \approx 51$
Calculamos la mantissa en función del nuevo exponente → $\cfrac{2.5675 \times 10 ^{15}}{2^{51}} = 1.140199046$
Expresamos en resultado con el signo original $-1.140199046\times2^{51}$

Pasar a IEEE-754

El número es negativo por lo que el bit de signo es 1
El exponente en exceso a 127 es → $127 + 51 = 178$ que en binario es 1011 0010
La mantissa es 1.140199046 (se ignora el bit implícito)

Pasamos la mantissa a binario → 0010 0011 1110 0100 0001 010

Concatenamos los bits resultantes

Resultado: 1 10110010 00100011111001000001010