Tema 2 - Unidad Aritmético - Lógica

Introducción

Multiplexor

Decodificadores

Formas Canónicas de una Función Lógica

Mapa de Karnaugh

📖

Tiene como función simplificar una expresión booleana de menos de 4 variables

Pasos

1. - Hacer el Mapa de Karnaugh

El mapa de Karnaugh es una tabla donde cada coordenada representa el valor de las variables de entrada correspondientes con dicha coordenada, y el valor en la tabla representará el valor de salida

💡

Si tenemos más de dos variables podemos agruparlas en una columna como si fueran una variable de dos dígitos, pero alternaremos la 4 fila con la 3 para tratar de mantener los 1’s del segundo dígito juntos

Ejemplo Mapa de Karnaugh 2x2

Tabla de ejemplo

$A$	$B$	$f(A,B)$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

$X_2 \diagdown X_1$	$0$	1
$0$	0	1
1	1	1

Ejemplo Mapa de Karnaugh 4x4

$X_3X_4 \diagdown X_1X_2$	00	01	11	10
00	0	1	1	0
01	1	1	1	1
11	0	0	0	0
10	1	1	0	0

2. - Inflar Globos

💡

Inflar los globos consiste en agrupar 1’s en grupos, lo más grandes posible, de potencias de 2

• Podemos traspasar los bordes

 

3. - Nombrar y Sumar

💡

Siendo cada globo un minterm, cada minterm estará formado solo por las cordenadas compartidas por todos los elementos del globo

4. - Don’t Cares (X)

💡

Como estos valores se pueden interpretar como queramos, se suelen interpretar como unos si esto nos ayuda a inflar un globo

Circuitos aritmético-lógicos básicos

Semisumador de 1-bit

Sumador completo de 1-bit

Sumador completo de $n$-bits

Restador

Sumador-restador

Construcción incremental de una ALU sencilla

Implementación And / Or (operaciones lógicas)

📄

Para implementar operaciones lógicas, sólo necesitaremos las puertas lógicas correspondientes y un multiplexor con una señal de control (código de operación) que gobierne su salida.

• Implementamos una puerta AND para el producto lógico.

• Implementamos una puerta OR para la suma lógica.

• tomaremos el Enable del Mux a 1 por defecto

⚙ Códigos de operación

• Op = 0 → AND

• Op = 1 → OR

Implementación add (suma)

📄

Posteriormente, añadimos a nuestra ALU un sumador completo, ampliando así el multiplexor. Se agrega una nueva entrada llamada acarreo de entrada ($c_{in}$ = $CarryIn$) junto a las entradas $a, b$ y $Operation$.

Para esta pequeña ALU que realiza tres operaciones (producto lógico, suma lógica y suma aritmética), es necesario expandir el multiplexor. Además, los bits de selección de Operation deben ser 2, ya que permiten hasta 4 operaciones diferentes:

⚙ Códigos de operación

• Op = 00 → AND

• Op = 01 → OR

• Op = 10 → a+b

 

Implementación sub (resta)

📄

Añadimos las operaciones de resta. En el sistema de complemento a 2, restar es igual a sumar el opuesto. Para calcular el opuesto, añadimos una puerta not al bit b y luego le sumamos 1 (Este valor 1 adicional se introduce mediante la señal $c_{in}$ (acarreo de entrada)).

⚙ Códigos de operación

• Op = 00 → AND

• Op = 01 → OR

• Op = 10 → a + b

• Op = 11 → a - b

 

Implementación nor (negación de la suma lógica)

📄

Para implementar la operación NOR (que es la negación de una suma lógica), aprovechando el Teorema de De Morgan, reutilizamos la puerta AND existente.

Esto evita añadir una puerta NOR al circuito y usar una entrada adicional en el multiplexor que selecciona el resultado.

La operación NOR, que es igual a la negación de la suma, se expresa como

$a \ NOR \ b = (a + b)' = a' ∙\ b' = (NOT \ a) \ AND \ (NOT \ b)$.

Ya tenemos la puerta AND y NOT para b, pero necesitamos una puerta NOT para a.

Agregamos un nuevo multiplexor para la señal a, controlado por la señal $A_{invert}$.

⚙ Códigos de operación:

(es importante darse cuenta de que hay un CoOp con 2 operaciones distintas)

$BitOperation$	$A_{invert}$	$B_{invert}$	$c_{in}$	$Operación$
00	0	0	X	AND
00	1	1	X	NOR
01	0	0	X	OR
10	0	0	0	a + b
10	0	1	1	a - b

Implementación slt (set lower than)

ALU de 32 Bits

📄

Combinando adecuadamente las miniALU de 1 bit, se obtiene la ALU de 32 bits.

• Cada miniALU recibe dos bits $($$A$ $y$ $B$$)$ y devuelve un bit de resultado $(R)$.

• El $CarryOut$ de una miniALU corresponde al $CarryIn$ de la siguiente miniALU.

• El $CarryOut$ de la última miniALU (peso 31) se ignora ya que nunca forma parte del resultado (valor don’t care).

• El $CarryIn$ de la primera miniALU (peso 0) es una entrada más del circuito.

• Todas las miniALU reciben la misma palabra de operación.

Entradas Less

• La salida $Set$ de la última miniALU (peso 31) es la entrada $Less$ correspondiente a la primera miniALU (peso 0).

• El resto de las entradas $Less$ de las otras miniALU están fijadas al valor 0.

Optimización

• Siempre que $CarryIn$ para la primera miniALU (peso 0) vale 0, la señal correspondiente a $B_{invert}$ también vale 0, y viceversa.

• Como ambas señales toman siempre los mismos valores, podemos unificarlas en una sola señal que llamaremos $B_{negate}$.

Otros circuitos aritmético-lógicos

Operaciones de Desplazamiento

Operaciones de Desplazamiento de Bits

📖

Desplazamiento Lógico

📖

Desplazamiento Aritmético

📖

Rotación

Operación de Extensión de Signo

Otros Circuitos