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Definitud de la matriz hessiana
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Cuando decimos todos los determinantes de HH, nos referimos a los determinantes de de las submatrices de HH hasta HH en orden creciente desde H11H_{11} siendo este el primer determinante
Ejemplo
Dada una matriz de orden nn siendo en este ejemplo n=3n=3, tendremos que calcular determinantes
notion image
  • H1H_{1} = det(1)=1det(1) = 1
  • H2=det(H22)=1⋅5−2⋅4=−3H_2 = det(H_{22}) = 1·5-2·4 = -3
  • H3=det(H)=0H_3 = det(H) = 0
Para cuando la matriz es diagonal (analizamos la diagonal principal)
Para que HH sea definida positiva
Todos los elementos de la diagonal principal son mayores que cero
Para que HH sea semidefinida positiva
Todos los elementos de la diagonal principal son mayores o iguales que cero
Para que HH sea definida negativa
Todos los elementos de la diagonal principal son menores que cero
Para que HH sea semidefinida negativa
Todos los elementos de la diagonal principal son menores o iguales que cero
Para que HH sea indefinida
Resto de casos:
  • El signo empieza en positivo y hay algún elemento negativo
Para cuando la matriz es simétrica y no diagonal (analizamos los determinantes)
Para que HH sea definida positiva
Todos los determinantes son mayores que cero
Para que HH sea semidefinida positiva
El signo de todos los determinantes de HH es positivo, pero al menos uno es cero (que no sea el primero)
Para que HH sea definida negativa
El signo del primer determinante es negativo y el resto alternados en signo
Para que HH sea semidefinida negativa
El signo del primer determinante es negativo y el resto alternados en signo o cero
Para que HH sea indefinida
Si el primer determinante es cero