Ejemplos 42 y 43 - Gráfico de control (X)

Ejemplo 42

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Enunciado
Consideramos la fabricacion de aros para piston de motor. Una característica en la calidad de un aro es su diámetro interno. Debido a las variaciones en su proceso de produccion, podemos modelizar este diametro como una variable aleatoria, sien XX la variable aleatoria representando el diámetro interno (en mm)
  • El diámetro es de 74mm74mm
  • La desviación típica es 0.01mm0.01mm
  • Se han tomado 16 muestras de tamaño 5 cada una
notion image
Se pide calcular el UCL, CL y LCL
Datos
X∼N(μ=74,σ=0.01)X \sim N(\mu = 74, \sigma = 0.01)
i=16i = 16
n=5n = 5
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Operaciones
Sabiendo que el valor de μX‾\mu_{\overline X} es 7474 y que el valor de σX‾=σn\sigma_{\overline X} = \frac{\sigma}{\sqrt n} donde σ=0.01\sigma = 0.01 y el tamaño de la muestra es
UCL=74+3 ⋅0.015=74.0135CL=74LCL=74−3 ⋅0.015=73.9865UCL = 74 + 3\ · \frac{0.01}{\sqrt 5} = 74.0135\\ CL = 74\\ LCL = 74 - 3\ · \frac{0.01}{\sqrt 5} = 73.9865
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Resultados
UCL=74.0135CL=74LCL=73.9865UCL = 74.0135\\ CL = 74\\ LCL = 73.9865
Gráfica ejemplo 42
Gráfica ejemplo 42

Ejemplo 43 (continuación del 42)

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Enunciado
Respecto del ejemplo 42
  • ¿Podemos decir que el proceso de fabricacion de aros de pistón está bajo control?
  • Suponiendo que el proceso de fabricacion de aros esté bajo control ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral caiga fuera de los límites de control?
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Operaciones
Respecto de la pregunta de si el proceso está bajo control, la respuesta es sí, ya que ninguna media se sale de los límites (gráfica ejemplo 42)
 
Para la segunda cuestión nos piden calcular el intervalo de confianza para la probabilidad de que el proceso caiga fuera de control
P(LCL≤X‾≤UCL)→P(−3≤Z≤3)P(LCL \leq \overline X \leq UCL) \rightarrow P(-3 \leq Z \leq 3)
Para pasar de X‾\overline X a ZZ hay que normalizar la variable aleatoria
Norm(x)=x−μσNorm(x) = \frac{x - \mu}{\sigma}
P(73.9865−740.015≤Z≤74.0135−740.015)=P(−3≤Z≤3)P\bigg(\frac{73.9865 - 74}{\frac{0.01}{\sqrt 5}} \leq Z \leq \frac{74.0135 - 74}{\frac{0.01}{\sqrt 5}}\bigg) = P(-3 \leq Z \leq 3)
Para hallar la probabilibadad de el intervalo deberemos calcular la diferencia entre las probabilidades: P(Z≤3)−P(Z≤−3)P(Z \leq 3) - P(Z \leq -3)
 
Para hallar los valores de estas probabilidades miraremos la tabla
notion image
P(−3≤Z≤3)=0.9987−[1−0.9987]=0.9974P(-3 \leq Z \leq 3) =0.9987 − [1 − 0.9987] \\ = 0.9974
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Resultados
  • Sí, está bajo control
  • La probabilidad de que la media muestral caiga fuera de control es de 1−0.9974=0.00261 - 0.9974 = 0.0026