Tema 6 - Control estadístico de la calidad

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Entendemos la calidad como la aptitud para el uso presente y futuro

Introducción

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Un proceso es una combinación única de herramientas, métodos, materiales y personal dedicados a la labor de producir un resultado medible

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Todos los procesos tienen una variabilidad inherente que puede evaluarse por medio de métodos estadísticos

Hay dos tipos de variaciones posibles

Las variación aleatorias, estas son inherente al sistema. Se considera que no se pueden prevenir

Las variaciones asignables, estas pueden y deben ser corregidas

Se considera que cuando las únicas variaciones presentes en un proceso son aleatorias, entonces el proceso está bajo control, en caso contrario estaría fuera de control

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Gráfico de control

El objetivo de los gráficos es reconocer si un proceso particular está bajo control

En estos gráfico podemos obserar 3 indicadores

Límite de control superior (UCL, Upper Control Limit)

Límite de central (CL, Center Line)

Límite de control inferior (LCL, Lower Control Limit)

Gráficos de control $X$ y $R$

ℹ️

Gráfico de control $\overline X$

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Estos gráficos también se conocen como gráficos de control shewhart

Cuando conocemos $\mu$ y $\sigma$

Si utilizamos la media muestral

( \overline X)

entonces tenemos el gráfico de control

\overline X

el cual representará las medias de diferentes muestras o la evolución de la media de una muestra a lo largo del tiempo. Los límites se calcularán siguiendo las siguientes fórmulas

$UCL = \mu_{\overline X} + k \sigma_{\overline X}$

$CL = \mu_{\overline X}$

$LCL = \mu_{\overline X} - k \sigma_{\overline X}$

Siendo
$k = 3$ → La $k$ es una constante
$\mu_{\overline X}$ → Es el valor esperado de $\overline X$
$\sigma_{\overline X}$ → Es el error estándar de $\overline X$
$\sigma_{\overline X} = \frac{\sigma}{\sqrt n}$

💡 Lo de esperado se refiere a que es el valor teórico o ideal de la muestra. Por ejemplo, en una cadena de producción, una pieza debe medir un valor $x$ , sin embargo, en la fase de producción, las piezas no salen perfectas, cada una mide o un poco más o un poco menos. El valor esperado, sería este valor con el que se diseñó la pieza

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Ejemplos 42 y 43 - Gráfico de control (X)

Riesgo y contraste de hipótesis

El nivel de significación

\alpha

mide el riesgo de error del tipo I

Siedo $\alpha$ la probabilidad de que el sistema esté fuera de control cuando pensabamos que estaba bajo control
$P(\text{fuera de control } | \text{ bajo control} )$

Normalmente no conoceremos la

\mu

ni la

\sigma

. En este caso calcularemos la gran media o media de medias

(\overline{\overline x})

Para cuantificar la variabilidad del proceso, aunque se puede estimar

\sigma

, en este contexto se utiliza más el rango promedo $(\overline r)$ (la media de los rangos de cada muestra). Recodemos que el rango es el valor mayor menos el valor menor de una muestra

Cuando no conocemos ni $\mu$ $\mu$ $\sigma$

En el supuesto de no conocer ni

\mu

\sigma

deberemos calcular los límites con las siguientes fórmulas

UCL = \overline{\overline x} + A_2(n)\overline r\\ CL = \overline{\overline x}\\ LCL = \overline{\overline x} - A_2(n) \overline r

Siendo
$n$ → Tamaño de cada muestra
$\overline{\overline x}$ → Gran media, media de medias
$\overline r$ → Rango promedio
$A_2(n)$ → Tabla a continuación (a la izquierda)

ℹ️

Gráficos de control R

Este es un análisis basado en el rango, pero que también nos sirve para monitorizar la variabilidad. Este análisis también establece sus propias fórmulas para los límites

UCL = D_4(n)\overline r\\ CL = \overline r\\ LCL = D_3(n)\overline r

Siendo
$\overline r$ → Rango promedio
$D_3$ y $D_4$ → Tabla acontinuación (a la derecha)

ℹ️

Gráfico de control S

Este análisis consiste en observar los cambios producidos en la desviación típica poblacional

(\sigma)

Protocolo para usar los gráficos de control

ℹ️

Al usar gráficos de control necesitaremos dos etapas

Etapa 1: Calibrar los parámetros
Usaremos $m$ (entre 20 y 25) muestras de tamaño $n$ (entre 4 y 6)
Se analiza mediante un gráfico de control R si la variabilidad del proceso es constante
Se analiza bajo un gráfico de control $\overline X$ si el proceso está bajo control
Si hay muestras patológicas en cualquiera de los dos gráficos
4.1. Se subsanan las posibles causas que las han producido
4.2. Se eliminan estas muestras de y se recalculan los parámetros de los dos gráficos de control
4.3. Volvemos al paso 2
Si no hay muestras patológicas se considera que el proceso está bajo control

Etapa 2: Monitorizar el estado del proceso
Para cada nueva muestra analizada, el valor de $\overline x$ y $r$ se representa en su correspondiente gráfico
De forma periódica se revisan límites de control de los dos gráficos

Capacidad de un proceso con la media centrada

ℹ️

Analizar la capacidad de un proceso significa analizar su rendimiento (suponiendo que está bajo control). Uno de los objetivos principales es predecir la proporción de productos de un proceso (variable aleatoria) que se encontrarán dentro de las especificaciones

Las especificaciones vienen dadas por un límite superior e inferior

$USL = 3\^\sigma$ (Upper Specificaction Limit)

$LSL = 3\^\sigma$ (Lower Specification Limit)

⚠️

Este análisis solo tiene sentido si el proceso está bajo control

🛠️

Para analizar la capacidad de un proceso tenemos las siguientes herramientas gráficas

Histograma

Gráfico de tolerancia (no confundir con los gráficos $\overline X$ o $R$ )

🛠️

Para analizar la capacidad de un proceso tenemos las siguientes herramientas numéricas

$\overline{\overline x}$ → Gran media (media de medias)

$\^\sigma$ → Estimación de la desviación típica (debe calcularse en caso de desconocer el valor real de $\sigma$ )

\^\sigma = \frac{\overline r}{d_2(n)}

Los valores de

d_2(n)

se pueden consultar en la siguiente tabla

El coeficiente de capacidad del proceso

\^C_p = \frac{USL - LSL}{6\^\sigma}

ℹ️

El coeficiente de capacidad del proceso (PCR, Process Capability Ratio) indica el ratio de los productos de un proceso que cumplirán las especificaciones

En la imagen podemos observar como dependiendo del valor de

C_p

podemos sacar diferentes conclusiones

Si $C_p > 1$ ó $C_P = 1$ entonces prácticamente todos los productos de un proceso cumplirán con las especificaciones

Si $C_p < 1$ entonces un número relevante de productos no cumplirá con las especificaciones

La operación

1/C_p

se interpreta como la proporción respecto del intervalo de especificaciones ocupado por los valores del proceso

💡

Se puede añadir un margen de seguridad dependiendo del tipo de proceso:

$C_p \geq 1.33$ → Como garantía de calidad mínima aceptable

$C_p \geq 1.66$ → Para procesos críticos en términos de: seguridad, resistencia, etc.

Capacidad de un proceso con la media no centrada

ℹ️

Cuando

\mu

no está en el centro del intervalo de especificaciones es mejor usar las siguientes fórmulas en lugar de las anteriores

C_{pk} = \min\ \bigg[ \frac{USL -\mu}{3\sigma}, \frac{\mu - LSL}{3\sigma} \bigg]

Ejemplo de media centrada y media desplazada con los valores de de referencia — *Ejemplo de media centrada y media desplazada con los valores de* *$\sigma$* *de referencia*

Como siempre, si se desconocen

\mu

\sigma

, se pueden usar

\overline{\overline x}

\^\sigma

en su lugar, en cuyo caso estaríamos calculando la estimación $\^C_{pk}$

💡

Se suele utilizar

C_{pk} \geq 2.0

como unbral mínimo de calidad en el límite de este umbral, la distancia de

\mu

a límite de especificación más cercano es de

6\sigma

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Utilizando la aritmética propia de la probabilidad y la normalización podemos determinar la probabilidad de un producto salga defectuoso

P(X < LSL) + P(X > USL)

Metodología Seis Sigma

💡

Nos puede pedir calcular si un proceso tiene una eficiencia de

6\sigma

, lo que se puede determinar de dos formas

Numéricamente

Un proceso tiene una eficiencia de $6\sigma$ cuando tiene un coeficiente de capacidad ajustado $C_{pk} = 2.0$

Gráficamente

Un proceso tiene una eficiencia $6\sigma$ cuando la media del proceso está a una distancia $6\sigma$ del límite de especificación más cercana

Tema 6 - Control estadístico de la calidad

Introducción

Gráficos de control XXX y RRR

Cuando conocemos μ\muμ y σ\sigmaσ

Cuando no conocemos ni μ\mu μμ\muμσ\sigmaσ